UTS Matematika Sekolah 1

NASKAH SOAL UTS MK MATEMATIKA SEKOLAH II

KERJAKAN SEMUA SOAL BERIKUT INI DENGAN CERMAT DAN SINGKAT

Soal :

1. 1.      Bagaimana guru matetika mengajarkan kemampuan penalaran dan komunikasi matematis, secara tertulis atau tersirat? Jelaskan!
2. 2.      Buatlah sebuah soal dan penyelesaiannya untuk mengukur kemampuan penalaran dan komunikasi serta sebutkan indikator mana yang diukur.
3. 3.      Buatlah sebuah soal pemecahan masalah nonrutin dan sebutkan aspek-aspek apa saja yang dapat diukur dari masalah tersebut.

Penyelesaian :

1. 1.  Dalam Proses pembelajaran matematika untuk membentuk mengajarkan kemampuan penalaran  yaitu dengan pemberian materi dan soal-soal cerita yang menggambarkan keadaan secara abstrak, yang menuntut siswa mengklasifikasikan, menghubungkan, membentuk kerangka teoritis, sehingga siswa memperoleh suatu kesimpulan (C5). Dimana proses penarikan kesimpulan telah terjadi proses berpikir  siswa yang telah menghubungkan fakta-fakta yang telah diketahui menuju kepada suatu  kesimpulan atau proses kegiatan siswa dalam beraktivitas  berpikir  untuk membuat pernyataan baru yang benar berdasarkan  pada beberapa pernyataan yang telah dibuktikan  dan diasumsikan sebelumnya. Kita ketahui bahwa penelaran merupakan suatu aktivitas berpikit untuk menarik kesimpulan baru berdasarkan pada beberapa pernyataan yang diketahui benar ataupun dianggap benar.  Bayangkan bagaimana jika dalam pembelajaran  matematika  siswa  tidak menggunakan kemampuan bernalar, siswa akan  kesulitan untuk memecahkan permasalahan atau mengambil keputusan. Begitu juga kemampuan bernalar tidak hanya dibutuhkan dalam pembelajaran matematika, namun juga didalam kehidupan sehari-hari dalam memecahkan masalah dan pengambilan keputusan oleh masyarakat. Sehingga kemampuan penalaran sangat penting dalam pembelajaran matematika. Sekali lagi kemampuan  dan keterampilan bernalar akan dibutuhkan para siswa atau warga masyarakat  ketika mereka mempelajari matematika. Dalam Proses pembelajaran matematika untuk selain penggunaan penalaan, perlu juga dikembangkan kemampuan komunikasi siswa dalam pembelajaran, baik secara lisan maupun tertulis sehingga dapat diketahui orang lain. Tujuannya tidak lain untuk mengukur sejauh mana pemahaman siswa untuk mengemukakan kembali pikirannya kepada siswa lain sehingga siswa lain dapat mengerti maksud penjelasan siswa. Dalam pembelajaran matematika siswa sering dituntut untuk pembuktian secara tertulis baik untuk rumus maupun soal-soal. Proses pembuktian atau soal  ini menunjukkan bahwa kata-kata, lambang-lambang, bilangan, grafik dan tabel telah digunakan untuk mengkomunikasikan ide-ide dan pikiran penulis. Ini menunjukkan tentang perlunya para siswa belajar matematika dengan alasan matematika merupakan alat komunikasi yang sangat kuat, teliti dan tidak membingungkan. Kita ketahui juga  lambang-lambang dalam matematika mengandung arti/makna. Untuk mengetahui tingkatan pemahaman siswa secara benar tersebut, maka lambang-lambang, kata-kata, grafk dan tabel perlu dikomunikasikan maknanya dengan orang lain baik tujuan, definisi/makna yang terkandung sehinga orang lain mengerti. Untuk menyampaikan apa yang siswa ketahui tersebut maka perlunya komunikasi itu sendiri. 

2.      Contoh soal Komunikasi

Perempat final Liga Champions 2010 diikuti 8 team A,B,C,D,E,F,G, dan H yang bertemu seperti tampak dalam undian berikut:

B

C

A

G

 

  

 Penyelesaian soal : Menggunakan Penalaran

            Pada diagram pada soal

Agar A menjadi juara A perlu 3 kali bertanding dan menang pada lawannya, sedangkan hanya memasuki final dan akhirnya kalah melawan A.

Agar  G masuk ke final, G perlu 2 kali bertanding dan menang pada lawannya.

Sehingga pertandingan yang diperhitungkan pada peluang kejadian adalah 3 pertandingan pada A, dan 2 pertandingan pada G.

Sehingga total pertandingan yang diperhitungkan ada 2 + 3 = 5 pertandingan.

Karena masing-masing pertandingan mempunyai peluang menang atau kalah sebesar 50% 

maka peluang agar hal itu terjadi adalah: 

Indikator Komunikasi Matematis :

1.      menghubungkan benda nyata, gambar, dan diagram ke dalam idea matematika.

2.      menjelaskan idea, situasi, dan relasi matematik, secara lisan dan tulisan dengan benda nyata, gambar, grafik dan aljabar

3.      menyatakan peristiwa sehari-hari dalam bahasa atau simbol matematika

4.      mendengarkan, berdiskusi, dan menulis tentang matematika

5.      membaca dengan pemahaman suatu presentasi Matematika tertulis

6.      membuat konjektur, menyusun argumen, merumuskan definisi dan generalisasi

7.      menjelaskan dan membuat pertanyaan matematika yang telah dipelajari.

Keg	Indikator	Analisis  Jawaban
	1	Agar A menjadi juara A perlu 3 kali Agar    G masuk ke final, G perlu 2 kali bertanding
	2	Agar A menjadi juara A perlu 3 kali bertanding dan menang pada lawannya, sedangkan G hanya memasuki final dan akhirnya kalah melawan A Agar    G  masuk ke final, G perlu 2 kali bertanding dan menang pada lawannya.
	3	Sehingga total pertandingan yang diperhitungkan ada 2 + 3 = 5 pertandingan
	5,6	Karena masing-masing pertandingan mempunyai peluang menang           atau kalah       sebesar 50% atau  maka peluang agar hal itu terjadi adalah:       =
	7	peluang kejadian A bertemu G di Final dan pada akhirnya A juara adalah

Contoh soal Penalaran :

            Buktikan formula “Gauss” 1 + 2 + … + n = n (n + 1)/2

           

            Jawab :

      1. Tunjukkan bahwa P(0) adalah benar. (langkah dasar)

                  Untuk n = 0 kita peroleh 0 = 0. Jadi P(0) Benar.

      2. Tunjukkan bahwa, jika P(n) maka P(n+1) untuk sebarang n∈N. (langkah induktif)

                  1 + 2 + … + n = n (n + 1)/2

                  1 + 2 + … + n + (n + 1)  = n (n + 1)/2 + (n + 1)

                                                        = (2n + 2 + n (n + 1))/2

                                                        = (2n + 2 + n² + n)/2

                                                        = (2 + 3n + n² )/2

                                                        = (n + 1) (n + 2)/2

                                                        = (n + 1) ((n + 1) + 1)/2

      3. Maka P(n) haruslah benar untuk sebarang n∈N. (kesimpulan)

1        + 2 + … + n = n (n + 1)/2 adalah

Benar untuk semua n∈N. Akhir dari pembuktian.

            Disamping prinsip induksi matematika yang telah dijelaskan, ada teknik pembuktian lain      yang sangat mirip dengan prinsip induksi matematika yang disebut sebagai prinsip kedua          dari induksi matematika. Prinsip ini dapat dipergunakan untuk membuktikan bahwa suatu          fungsi proposisi P(n) bernilai benar untuk sebarang bilangan cacah n. Langkah-langkah       pembuktian dalam prinsip kedua adalah sebagai berikut:

      • Tunjukkan bahwa P(0) adalah benar. (langkah dasar)

      • Tunjukkan bahwa jika P(0) dan P(1) dan … dan P(n), maka P(n+1) benar untuk sebarang n∈N. (langkah induktif)

      • Maka P(n) haruslah benar untuk sebarang n∈N. (kesimpulan)

Berdasarkan Uraian diatas, bahwa indicator penalaran dilihat dari langkah-langkah pembuktian siswa. Biasanya bentuk soal penalaran soal-soal kategori C5, yaitu soal-soal bentuk pembuktian dan penarikan kesimpulan. Proses penalaran dengan mengukur sejauh mana pola/langkah - langkah piker siswa dalam membuktikan sesuatu atau menarik kesimpulan, baik secara deduktif maupun induktif.

 Penalaran matematika (mathematical reasoning) diperlukan untuk menentukan apakah sebuah argumen matematika benar atau salah dan juga dipakai untuk membangun suatu argumen matematika. Penalaran matematika tidak hanya penting untuk melakukan pembuktian (proof) atau pemeriksaan program (program verification), tetapi juga untuk melakukan inferensi dalam suatu sistem kecerdasan buatan (artificial intelligence/AI).

3.      Contoh soal Pemecahan Masalah.

Polinom P(x) = x³ – x² + x – 2 mempunyai tiga pembuat nol yaitu a, b, dan c.

Nilai dari a³+b³+c³ adalah....

Penyelesaian :

Soal Pemecahan masalah adalah suatu soal yang mana pertanyaan soal itu menunjukkan adanya suatu tantangan yang tidak dapat dipecahkan oleh suatu prosedur rutin yang sudah diketahui siswa, maka untuk menyelesaikan soal tersebut diperlukan waktu yang lebih lama dari proses pemecahan soal rutin biasa.

            Proses Pemecahan masalah :

1.      Memahami masalah

2.      Merencanakan penyelesaian

3.      Melaksanakan Perencanaan

4.      Menafsirkan hasil

 Jawab :

1.      Memahami masalah maksudnya disini memahami apa yang diinginkan soal. Meliputi pokok bahasan apa yang dimaksud soal, apa yang diingikan dari soal tersebut. Meliputi :

·         Pokok bahasannya dari soal Polinomial 

·         Yang diinginkan nilai akar-akarnya

2.      Merencanakan penyelesaian dengan membuat pengelompokkan apa yang diketahui dari soal dan apa yang ditanya dari soal, Meliputi :

Dik :  Polinom :  x³ – x² + x – 2 = 0 memiliki akar-akar a, b, dan c.

Dit : nilai dari a³ + b³ + c³.

3.      Melaksanakan perencanaan, maksudnya disini mengetahui langkah awal apa saja yang perlu direncanakan dalam memecahkan permasalahan soal. Meliputi :

Dari soal tersebut dapat diketahui 3 hal, yaitu:

·         a + b + c = 1

·         ab + bc + ac = 1

·         abc = 2

Akan dicari a³ + b³ + c³, maka Langkah pertama adalah membuat persamaan umumnya :

                                                (a + b + c)³        =    (a + b + c)³ 

     (a³ + b³ + c³ ) + (a + b + c)³ - (a³ + b³ + c³ )      =    (a + b + c)³ 

    (a³ + b³ + c³ ) + [(a + b + c)³ - (a³ + b³ + c³ )]    =     (a + b + c)³ 

                                                a³ + b³ + c³        =     (a + b + c)³ - [(a + b + c)³ - (a³ + b³ + c³ )]          

Sekarang akan disederhanakan nilai dari [(a + b + c)³ – (a³ + b³ + c³)].

Karena pengembangan dari (a + b + c)³ = a³ + b³ + c³ + 3a²b + 3ab² + 3b²c + 3bc² + 3a²c + 3ac² + 6abc.

Maka nilai dari [(a + b + c)³ – (a³ + b³ + c³)] = 3a²b + 3ab² + 3b²c + 3bc² + 3a²c + 3ac² + 6abc.

Diketahui pula bahwa :

(ab+bc+ac)(a+b+c)= a²b + ab² + b²c + bc² + a²c + ac²  + 3abc, kita sebut persamaan 1.

Maka dari persamaan tadi didapat bahwa 3a²b + 3ab² + 3b²c + 3bc² + 3a²c + 3ac² + 6abc,

nilai ini akan identik dengan: (3a²b + 3ab² + 3b²c + 3bc² + 3a²c + 3ac² + 9abc) – 3abc.

Persamaan tersebut dapat disederhanakan menjadi: 3(a²b + ab² + b²c + bc² + a²c + ac² + abc) – 3abc. Dengan mensubtitusikan persamaan 1 ke persamaan diatas maka persamaan akan menjadi :

 3(ab + bc + ac)(a + b + c) – 3abc.

Sehingga disimpulkan nilai dari [(a + b + c)³ – (a³ + b³ + c³)] adalah sama dengan

3(ab + bc + ac)(a + b + c) – 3abc.

Tadi telah kita dapat bahwa:

a³ + b³ + c³     =     (a + b + c)³ - [(a + b + c)³ - (a³ + b³ + c³ )]          

Dengan mengganti nilai yang bercetak tebal menjadi 3(ab + bc + ac)(a + b + c) – 3abc, maka persamaan menjadi:

a³ + b³ + c³     =     (a + b + c)³ - 3(ab + bc + ac)(a + b + c) – 3abc

Sehingga persamaan yang digunakan adalah:

a³ + b³ + c³     =     (a + b + c)³ –  3[(ab + bc + ac)(a + b + c) – abc]

4.      Menafsirkan hasil, maksudnya dari proses rancangan diatas. Maka diperoleh persamaan yang lebih sederhana sehingga penyelesaian soal tinggal menafsirkan saja.

Dengan mensubtitusikan nilai a + b + c ; ab + bc + ac ; dan abc ke dalam persamaan, maka didapat : 

            a³ + b³ + c³     =     (1)³ –  3[(1)(1) – 2]

            a³ + b³ + c³     =     (1) –  3[(1) – 2]

            a³ + b³ + c³     =     (1) –  3[–1]

            a³ + b³ + c³     =     (1) +  3

]

            Sehingga didapat bahwa  nilai dari a³ + b³ + c³ = 4.